Emils Mathe — Vorbereitung Arbeit

Erst verstehen

Was ist ein Gleichungssystem überhaupt?

Stell dir vor: Du weißt zwei Dinge gleichzeitig. Zum Beispiel:

„Zwei Zahlen zusammen ergeben 10." → das ist eine Bedingung.

„Die eine ist doppelt so groß wie die andere." → das ist eine zweite Bedingung.

Jede Bedingung allein hat unendlich viele Lösungen. Beide zusammen haben genau eine. Das ist das System.

Du suchst immer den Wert der BEIDEN Variablen — nicht nur einer.

Schulweg: Textaufgaben

So gehst du vor — immer

Variablen festlegen: Was ist x? Was ist y? Schreib es hin!
z.B. x = Anzahl Äpfel, y = Preis pro Apfel
Erste Gleichung aus dem Text bauen:
„Die Summe ist 100" → x + y = 100
Zweite Gleichung aus dem Text bauen:
„Der erste ist 7-mal so alt wie der zweite" → x = 7y
LGS lösen (Einsetzen, Gleichsetzen oder Addition)
Antwort im Kontext formulieren: „Die erste Zahl ist …"

Schritt 5 wird in der Arbeit oft vergessen — es gibt Punktabzug wenn du nicht antwortest!

Aufgabe genau wie in deiner AB

Noah wird Streamer

Noah kauft Equipment für 3000 € (einmalig). Laufende Kosten: 80 € pro Monat für Internet etc. plus 30 € pro Monat für Abos. Einnahmen: 80 € pro Monat durch Werbung.

Warte — ist das wirklich so? Nochmal genau lesen: Laufende Kosten 80 + 30 = 110 €/Monat. Einnahmen 80 €/Monat. Das geht nie auf! Noah braucht mehr Abonnenten. Die Zahl aus deinem AB war:

Laufende Kosten: 260 €/Jahr, Einnahmen: 630 €/Jahr.

x = Anzahl Jahre
y = Geld in €

Gleichung I (Gesamtkosten):

y = 260·x + 3000

(260 pro Jahr + 3000 Startkosten)

Gleichung II (Einnahmen):

y = 630·x

(630 pro Jahr, fängt bei 0 an)

Gleichsetzen:

630x = 260x + 3000

370x = 3000

x = 3000 ÷ 370 ≈ 8,1 Jahre

Antwort: Nach ca. 8 Jahren hat Noah die Kosten wieder drin.

Aufgabentyp: Summen und Differenzen

„Zwei Zahlen, deren Summe …"

Dieser Typ kommt immer wieder. Erkenne ihn sofort:

Aufgabe: Die Summe zweier Zahlen ist 960, ihre Differenz ist 300. Welche Zahlen?

x + y = 960 (Summe)
x − y = 300 (Differenz)

→ Additionsverfahren:

2x = 1260 → x = 630

y = 960 − 630 = 330

Antwort: 630 und 330.

Aufgabentyp: Altersaufgaben

„Jetzt ist A so alt wie …"

Aufgabe: Paula ist 27, ihre Mutter 57. Vor wie vielen Jahren war die Mutter dreimal so alt?

x = Anzahl Jahre in der Vergangenheit

Mutter damals: 57 − x
Paula damals: 27 − x

Bedingung: Mutter = 3 × Paula

57 − x = 3·(27 − x)

57 − x = 81 − 3x

2x = 24

x = 12 → Vor 12 Jahren.

Bei Altersaufgaben: immer zuerst „Wer war wann wie alt?" aufschreiben, dann Gleichung.

Mini-Test

Zwei Zahlen: Summe ist 100, die erste ist 4-mal so groß wie die zweite. Was ist die kleinere Zahl?

Erst verstehen

Was siehst du im Koordinatensystem?

Jede lineare Gleichung ist eine Gerade. Wenn du zwei Geraden zeichnest, gibt es genau einen Schnittpunkt — das ist die Lösung. Der Punkt erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig.

Das grafische Lösen ist annähernd — du liest den Schnittpunkt ab. Kleine Ungenauigkeiten beim Zeichnen = kleine Fehler. Deshalb gibt es das algebraische Verfahren zum Exakt-Rechnen.

Schulweg: Grafisch lösen

Schritt für Schritt

Beide Gleichungen nach y auflösen: y = mx + n
Für jede Gleichung: Wertetabelle mit mindestens 3 Punkten aufstellen (z.B. x = −2, 0, 3)
Punkte einzeichnen, Geraden zeichnen
Schnittpunkt ablesen: Das ist die Lösung (x|y)
Probe: x- und y-Wert in beide Gleichungen einsetzen — beide müssen stimmen!

Drei Verfahren — wann welches?

Überblick

Gleichsetzen: Beide Gleichungen nach y (oder x) auflösen, dann gleichsetzen. → Gut wenn beide schon y = … Form haben.

Einsetzen: Eine Gleichung nach y auflösen, in die andere einsetzen. → Gut wenn eine Variable allein steht.

Addition: Gleichungen addieren (oder subtrahieren) um eine Variable zu eliminieren. → Gut wenn Koeffizienten passen.

Verfahren 1: Gleichsetzen

Beide nach y, dann gleich

I: y = 3x + 1
II: y = −x + 7

Gleichsetzen:

3x + 1 = −x + 7

4x = 6

x = 1,5

x in Gleichung I einsetzen:

y = 3 · 1,5 + 1 = 5,5

Lösung: L = {(1,5 | 5,5)}

Probe in II: y = −1,5 + 7 = 5,5 ✓

Verfahren 2: Einsetzen

Eine auflösen, einsetzen

I: x + 2y = 8
II: 3x − y = 3

Gleichung I nach x auflösen:

x = 8 − 2y

In II einsetzen:

3·(8 − 2y) − y = 3

24 − 6y − y = 3

−7y = −21

y = 3

y in x = 8 − 2y einsetzen:

x = 8 − 6 = 2 → L = {(2 | 3)}

Verfahren 3: Addition

Variable wegaddieren

I: 2x + 3y = 12
II: 2x − y = 4

I − II (damit 2x wegfällt):

(2x + 3y) − (2x − y) = 12 − 4

4y = 8 → y = 2

y in II einsetzen:

2x − 2 = 4 → x = 3

L = {(3 | 2)}

Wenn die Koeffizienten nicht passen: Gleichung mit einer Zahl multiplizieren. z.B. I×2 damit der x-Term gleich wird.

Sonderfälle — was bedeuten sie?

Keine oder unendlich viele Lösungen

Beim Rechnen bleibt manchmal keine Variable übrig:

0 = 0 → Unendlich viele Lösungen — beide Geraden sind identisch (übereinander).

0 = 5 (Widerspruch) → Keine Lösung — beide Geraden sind parallel, schneiden sich nie.

Auf deiner AB Aufgabe 5: Das LGS aus 3x + y = 4 hat mehrere Möglichkeiten für die zweite Gleichung — erkenne den Sonderfall wenn er kommt.

Mini-Test

LGS: y = 2x − 1 und y = −x + 5. Welche Lösung ist richtig?

Erst verstehen — warum stimmt das?

Der Beweis den man nie vergisst

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Zeichne auf jede Seite ein Quadrat. Dann gilt:

Das Quadrat auf der langen Seite hat dieselbe Fläche wie die zwei Quadrate auf den kurzen Seiten zusammen.

a² + b² = c²

a und b = die zwei kurzen Seiten (Katheten)
c = die lange Seite (Hypotenuse) — die gegenüber dem rechten Winkel

c ist IMMER die längste Seite. Der rechte Winkel ist IMMER gegenüber von c.

Umstellen — die drei Varianten

Nach jeder Seite auflösen

Hypotenuse gesucht (c):

c = √(a² + b²)

Kathete gesucht (a oder b):

a = √(c² − b²)

b = √(c² − a²)

Bei der Kathete: c² MINUS b². Nicht plus! Die Hypotenuse kommt zuerst, dann abziehen.

Deine AB: Alltagsaufgaben

Holzplatte, Schrank, Leiter…

Alle diese Aufgaben funktionieren gleich: Finde das rechtwinklige Dreieck in der Situation.

LED-TV: Bildschirmdiagonale 178 cm, Breite 0,5 cm Rand, 16:9.
Verhältnis 16:9 → Seiten sind 16k und 9k.
Pythagoras: (16k)² + (9k)² = 178²
256k² + 81k² = 31684
337k² = 31684 → k ≈ 9,7
Breite ≈ 155 cm, Höhe ≈ 87 cm.
Schrank 178 cm breit, 0,5 cm Rand → passt der Fernseher? Ja, 155 < 178.

Leiter an Hauswand: Leiter 5,20 m, 1,80 m vom Haus entfernt.
Hypotenuse = Leiter = 5,20 m
Kathete = Abstand = 1,80 m

h = √(5,20² − 1,80²) = √(27,04 − 3,24) = √23,8 ≈ 4,88 m

Höhe im gleichschenkligen Dreieck

Die Höhe halbiert die Basis

In einem gleichschenkligen Dreieck mit Schenkel s und Basis g gilt: Die Höhe h halbiert die Basis. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck!

h = √(s² − (g/2)²)

Gleichseitiges Dreieck: Schenkel s = a, Basis g = a.
h = √(a² − (a/2)²) = √(a² − a²/4) = √(3a²/4) = (a·√3)/2 Das ist die Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck.

Raumdiagonale — 3D!

Pythagoras zweimal hintereinander

Das Besondere auf deiner AB: Diagonalen in Quadern und Würfeln. Du wendest Pythagoras zweimal an.

Quader mit Längen a, b, c:

Schritt 1: d_Boden = √(a² + b²)

Schritt 2: d_Raum = √(d_Boden² + c²) = √(a² + b² + c²)

Würfel mit Kantenlänge a:

d = √(a² + a² + a²) = a·√3

Beim Würfel: Raumdiagonale ist immer Kantenlänge × √3. Merken!

Aus deiner AB: Würfel mit a = 4 cm, b = 4 cm, c = 5 cm:

d = √(4² + 4² + 5²) = √(16 + 16 + 25) = √57 ≈ 7,55 cm

Umkehrsatz

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Du bekommst drei Seiten und sollst prüfen: rechtwinkliges Dreieck — ja oder nein?

Längste Seite finden → das ist das mögliche c
Ausrechnen: a² + b² = ?
Ausrechnen: c² = ?
Gleich? → rechtwinklig. Nicht gleich? → nicht rechtwinklig.

Seiten 3, 4, 5:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25 ✓ → rechtwinklig!

Quadratwurzeln — die Grundlage

Sicher mit Wurzeln umgehen

Pythagoras geht nur wenn du Wurzeln kennst. Die wichtigsten:

√1 = 1    √4 = 2    √9 = 3    √16 = 4
√25 = 5    √36 = 6    √49 = 7    √64 = 8
√81 = 9    √100 = 10    √121 = 11    √144 = 12
√169 = 13    √225 = 15    √400 = 20    √625 = 25

Nicht-ganzzahlige Ergebnisse: Taschenrechner oder auf 2 Nachkommastellen runden.

Deine Übungsaufgabe: Kathete finden

h und s gegeben — e gesucht

Du hast genau diesen Typ geübt: Hypotenuse s und eine Kathete h sind bekannt, du sollst die andere Kathete e berechnen.

e = √(s² − h²)

Geg: s = 220 m (Hypotenuse), h = 70 m (eine Kathete)
Ges: e = ?

e = √(220² − 70²)

= √(48 400 − 4 900)

= √43 500

≈ 208,6 m

Immer zuerst prüfen: welche Seite ist die Hypotenuse? Die längste! Nur von der Hypotenuse wird abgezogen — nie von einer Kathete.

Mini-Test

Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?

Erst verstehen

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion beschreibt eine gleichmäßige Veränderung. Jedes Mal wenn x um 1 wächst, wächst y um denselben Betrag.

Beispiel: Taxi kostet 3 € Grundpreis + 2 € pro km. Nach x km zahlst du y = 2x + 3.

y = m · x + n

m = Steigung → Wie viel ändert sich y, wenn x um 1 steigt?
n = y-Achsenabschnitt → Was ist y, wenn x = 0? (Startpunkt!)

Steigung wirklich verstehen

m ist die Steilheit

m = 2 heißt: Pro Schritt nach rechts, 2 Schritte nach oben. Steile Gerade.

m = 0,5 heißt: Pro 2 Schritte nach rechts, 1 Schritt oben. Flache Gerade.

m = −1 heißt: Pro Schritt nach rechts, 1 Schritt nach unten. Fallende Gerade.

m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Aus zwei Punkten: einfach y-Differenz durch x-Differenz rechnen.

Genau das kam in deinem Test — Mai 2026

Positive oder negative Steigung — nie mehr verwechseln

Dein Lehrer hat im Test mit Rot geschrieben: „Steigung positiv". Du hattest eine ansteigende Gerade falsch markiert.

↗ Gerade geht nach oben rechts → m POSITIV
Beispiel: y = 2x + 1 → pro Schritt rechts: 2 hoch

↘ Gerade geht nach unten rechts → m NEGATIV
Beispiel: y = −3x + 5 → pro Schritt rechts: 3 runter

→ Gerade liegt waagerecht → m = 0

Geh mit dem Finger von links nach rechts. Fingerweg geht hoch? Positiv. Geht runter? Negativ. So einfach.

m aus dem Graphen ablesen — 30. Mai geübt

Zwei Punkte, fertig

Das hast du gestern noch geübt: 5 Geraden im Koordinatensystem, m und n ablesen.

Zwei saubere Gitterpunkte auf der Geraden ablesen — z.B. A(0|−1) und B(2|3)
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) rechnen
n ablesen: wo schneidet die Gerade die y-Achse? (bei x = 0)

A(0|−1) und B(2|3):
m = (3 − (−1)) / (2 − 0) = 4/2 = 2 n = −1 (Gerade schneidet y-Achse bei −1)

y = 2x − 1

Bei negativem m: y₂ ist kleiner als y₁ — das macht m negativ. Kein Rechenfehler, das stimmt genau so.

Funktionsterm aus zwei Punkten

Wenn du zwei Punkte hast

Steigung berechnen: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
m und einen Punkt in y = mx + n einsetzen
Nach n auflösen
Gleichung aufschreiben

Punkte: A(2|5) und B(4|11)
m = (11 − 5) / (4 − 2) = 6/2 = 3 Einsetzen in y = 3x + n mit Punkt A:

5 = 3·2 + n → n = 5 − 6 = −1

y = 3x − 1 Probe mit B: y = 3·4 − 1 = 11 ✓

Nullstelle berechnen

Wo schneidet die Gerade die x-Achse?

Bei der Nullstelle ist y = 0. Also:

0 = mx + n → x = −n/m

y = 2x − 6:

0 = 2x − 6 → 2x = 6 → x = 3

Nullstelle bei x = 3.

Verbindung zu LGS

Schnittpunkt zweier Geraden = LGS

Der Schnittpunkt von y = 2x + 1 und y = −x + 7 ist genau die Lösung des LGS:

I: y = 2x + 1
II: y = −x + 7

Gleichsetzen:

2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2

y = 2·2 + 1 = 5

Schnittpunkt: (2|5)

Das ist die Verbindung zwischen „Lineare Funktionen" und „LGS" — beide Themen hängen zusammen!

Aus deiner AB: Noah aufstellen

Gleichung aus dem Kontext

Du hast das bei Noah gemacht. Der Ablauf:

Was ist x? Was ist y? (immer zuerst definieren!)
Was ist der Startwert? → das ist n
Was ist die Veränderung pro x-Einheit? → das ist m
Gleichung y = mx + n aufschreiben

„Frank zahlt einmal 34,50 € und dann 2 € pro Kilogramm Zucker."
x = kg Zucker, y = Gesamtpreis

y = 2x + 34,50

Mini-Test

Eine Funktion geht durch (0|4) und (3|10). Wie lautet m?

Mini-Test — dein Test-Fehler

Eine Gerade geht durch A(0|5) und B(3|2). Was gilt für die Steigung m?

Emils Mathe — Vorbereitung

Was ist ein Gleichungssystem überhaupt?

So gehst du vor — immer

Noah wird Streamer

„Zwei Zahlen, deren Summe …"

„Jetzt ist A so alt wie …"

Was siehst du im Koordinatensystem?

Schritt für Schritt

Noah: Kosten vs. Einnahmen grafisch

y = x − 1 und y = −3x + 3

„Beschreibe den Verlauf"

Das geht schief

Überblick

Beide nach y, dann gleich

Eine auflösen, einsetzen

Variable wegaddieren

Keine oder unendlich viele Lösungen

Der Beweis den man nie vergisst

Nach jeder Seite auflösen

Holzplatte, Schrank, Leiter…

Die Höhe halbiert die Basis

Pythagoras zweimal hintereinander

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Sicher mit Wurzeln umgehen

h und s gegeben — e gesucht

Was ist eine lineare Funktion?

m ist die Steilheit

Positive oder negative Steigung — nie mehr verwechseln

Zwei Punkte, fertig

Wenn du zwei Punkte hast

Wo schneidet die Gerade die x-Achse?

Schnittpunkt zweier Geraden = LGS

Gleichung aus dem Kontext